Récurrence, transitivité, minimalité, ergodicité et mélange. Théorèmes ergodiques, application à l'unique ergodicité. Homéomorphismes du cercle : nombre de rotation, théorème de Denjoy et contre exemple. Entropie métrique et topologique : formules de Newhouse et de Shanon-Mcmillan-Breiman, principe variationnel. Dynamique symbolique : unique ergodicité et minimalité, calcul de l'entropie, sous-décalage de type fini. Partition de Markov pour les automorphismes linéaires hyperboliques : construction de partitions de Markov.
Théorèmes du point fixe de Picard, d'inversion locale, des fonctions implicites, de Cauchy-Lipschitz, du point fixe de Brouwer, de m'application ouverte, d'Ascoli-Arzela (application au théorème de Stone-Weierstrass). Théorèmes de Baire, de Banach-Steinhauss, de l'application ouverte, du graphe fermé. Espaces de Sobolev : inégalités de Poincaré théorème de Rellich. Convolution : théorème de Young, approximation de l'identité, théorèmes de Hardy-Littlewood et de Hardy-Littlewood-Sobolev, injections de Sobolev. Transformée de Fourier : décroissance des coefficients et régularité, classe de Schwartz, extension aux distributions et distributions tempérées.
Fondements des probabilités : fonctions caractéristiques, indépendance, construction de variables aléatoires indépendantes. Théorèmes limites : loi du 0-1 de Kolmogorov, loi des grands nombres, théorème central limite. Types de convergence pour les variables aléatoires, caractérisations et liens entres elles. Espérances conditionnelles et lois conditionnelles. Martingales, convergence de martingales. Chaînes de Markov sur un espace d'état dénombrable : théorème de décomposition et comportement assymptotique.
Théorie spectrale des opérateurs bornés des espaces de Hilbert : décomposition spectrale des opérateurs auto-adjoints compacts, calcul fonctionnel continu, calcul fonctionnel borné. Quelques thèmes d'analyse harmonique : noyau et intégrale de Poisson sur le cercle, analycité des fonctions harmoniques, propriété de la moyenne, principe du maximum, inégalité et théorème de Harnack. Spectre du laplacien des ouverts bornés de Rn, opérateur de Green, décomposition spectrale du laplacien.
Aspects théoriques des équations différentielles ordinaires : points singuliers hyperboliques et théorème de linéarisation, attracteurs et fonctions de Lyapunov, étude des bifurcations locales pour un paramètre de dimension 1. Méthodes numériques d'ordre élevé (avec ou sans pas adaptatif) pour résoudre des EDO : critères de stabilité, méthode de séparation d'opérateur.
Topologie algébrique : groupe fondamental et classification des revêtements galoisiens.
Géométrie différentielle : caractéristique d'Euler et classification des surfaces compactes connexes orientées par le genre via la théorie de Morse.
Dynamique hyperbolique. Étude de systèmes dérivés d'Anosov et des attracteurs étranges associés. Étude d'une classe de systèmes dérivés d'Anosov du tore bidimensionnel, présentant chacun un attracteur. On cherche à comprendre le comportement de ces systèmes d'un point de vue topologique, puis ergodique. On construit des mesures non-triviales pour lesquelles la transformation est mélangeante.